Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是圓x²+y²=2上的點(diǎn)，過(guò)P作圓的切線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求△OMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由離心率為e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，則3a²=4b²，菱形面積S=2ab=4$\sqrt{3}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由于點(diǎn)P位于圓上，因此△OMN的高恒為定值r，將求解△OMN面積的最小值轉(zhuǎn)化為求解丨MN丨的最小值．首先考慮切線斜率存在的情況，聯(lián)立直線和橢圓方程后，利用韋達(dá)定理表示丨MN丨，通過(guò)切線性質(zhì)消去一個(gè)參數(shù)后，利用函數(shù)的單調(diào)性確定丨MN丨的最小值；再考慮斜率不存在時(shí)的特殊情況下丨MN丨的取值，從而確定丨MN丨的最小值，即可確定△OMN面積的最小值．

解答 解：（1）橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則3a²=4b²，
又∵菱形面積S=2ab=4$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
當(dāng)切線與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)切線方程l：y=kx+m（m≠0），
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
根據(jù)韋達(dá)定理，x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
x₁+x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由弦長(zhǎng)公式可知：
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$，
化簡(jiǎn)得：丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{192{k}^{2}+144-48{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
由直線y=kx+m與圓x²+y²=2相切，故$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即m²=2（k²+1），將其代入①式得：
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{96{k}^{2}+48}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²（t≥3），則k²=$\frac{t-3}{4}$，
則丨MN丨=$\sqrt{1+\frac{t-3}{4}}$•$\sqrt{\frac{24（t-3）+48}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{6}$•$\sqrt{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$≥$\sqrt{6}$•$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，即k=0時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，x²=2，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
求得丨MN丨=$\sqrt{6}$＞$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故當(dāng)k=0時(shí)，丨MN丨取得最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
又S_△OMN=$\frac{1}{2}$|MN丨•r，r為定值$\sqrt{2}$，
故丨MN丨取得最小值時(shí)，S_△OMN也取得最小值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
此時(shí)k=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．