6.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0),斜率為$\frac{4}{3}$,直線l和拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求:
(1)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)線段AB的長(zhǎng)|AB|.

分析 (1)求出直線l的參數(shù)方程,代入拋物線方程y2=2x中,得到關(guān)于t的一元二次方程,設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為t1、t2,得到根與系數(shù)的關(guān)系,由M為線段AB的中點(diǎn),根據(jù)t的幾何意義,即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)利用弦長(zhǎng)公式|AB|=|t2-t1|,即可得出.

解答 解:(1)∵直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0),斜率為$\frac{4}{3}$,
設(shè)直線的傾斜角為α,tanα=$\frac{4}{3}$,sinα=$\frac{4}{5}$,cosα=$\frac{3}{5}$,
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))(*)
∵直線l和拋物線相交,將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=2x中,
整理得8t2-15t-50=0,且△=152+4×8×50>0,
設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為t1、t2,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得t1+t2=$\frac{15}{8}$,t1t2=-$\frac{25}{4}$,
由M為線段AB的中點(diǎn),根據(jù)t的幾何意義,
因?yàn)橹悬c(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為$\frac{15}{16}$,
將此值代入直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中,得M($\frac{41}{16}$,$\frac{3}{4}$).
(2)|AB|=|t2-t1|=$\sqrt{(\frac{15}{8})^{2}-4×(-\frac{25}{4})}$=$\frac{5}{8}\sqrt{73}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、參數(shù)的幾何意義、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式,考查了計(jì)算能力和推理能力,屬于中檔題.

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