Question

10．如圖1，菱形ABCD的邊長為12，∠BAD=60°，AC交BD于點O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M，N分別是棱BC，AD的中點，且DM=6$\sqrt{2}$．

（Ⅰ）求證：OD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐M-ABN的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ABCD是菱形，可得AD=DC，OD⊥AC，求解三角形可得OD=6，結合M是BC的中點，求出OM、MD，可得OD²+OM²=MD²，得DO⊥OM，由線面垂直的判定可得OD⊥面ABC；
（Ⅱ）取線段AO的中點E，連接NE．可得NE∥DO．由（Ⅰ）得OD⊥面ABC，可得NE⊥面ABC，求出△ABM的面積，然后利用等積法求得三棱錐M-ABN的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC，
在△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，
又M是BC的中點，∴$OM=\frac{1}{2}AB=6，MD=6\sqrt{2}$，
∵OD²+OM²=MD²，則DO⊥OM，
∵OM，AC?面ABC，OM∩AC=O，
∴OD⊥面ABC；
（Ⅱ）解：取線段AO的中點E，連接NE．
∵N是棱AD的中點，∴NE=$\frac{1}{2}DO$且NE∥DO．
由（Ⅰ）得OD⊥面ABC，∴NE⊥面ABC，
在△ABM中，AB=12，BM=6，∠ABM=120°，
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}•AB•BM•sin∠ABM$=$\frac{1}{2}×12×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$．
∴${V_{M-ABN}}=\frac{1}{2}{V_{M-ABD}}=\frac{1}{2}{V_{D-ABM}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{S_{△ABM}}•OD=18\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．