Question

15．“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國人民發(fā)出的口號(hào)．某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（x_i，y_i）（i=1，2，…，6），如表所示：

試銷單價(jià)x（元）	4	5	6	7	8	9
產(chǎn)品銷量y（件）	q	84	83	80	75	68

已知$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{y}_{i}$=80
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價(jià)x（元）的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\overrightarrow{a}$
（Ⅲ）用$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$表示用正確的線性回歸方程得到的與x_i對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值．當(dāng)銷售數(shù)據(jù)（x_i，y_i）的殘差的絕對值|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-y_i|≤1時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)（x_i，y_i）稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{y}_{i}$=80，可求出q的值；
（Ⅱ）求出回歸系數(shù)，可得線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\overrightarrow{a}$；
（Ⅲ）確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{y}_{i}$=80，求得q=90．
（Ⅱ）$\stackrel{∧}$=$\frac{3050-6×6.5×80}{271-253.5}$=-4，$\stackrel{∧}{a}$=80+4×6.5=106，
所以所求的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-4x+106．
（Ⅲ）當(dāng)x₁=4時(shí)，y₁=90；當(dāng)x₂=5時(shí)，y₂=9086；當(dāng)x₃=6時(shí)，y₃=82；當(dāng)x₄=7時(shí)，y₄=78；當(dāng)x₅=8時(shí)，y₅=74；當(dāng)x₆=9時(shí)，y₆=70．
與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-y_i|≤1（i=1，2，…，6）的共有3個(gè)“好數(shù)據(jù)”：（4，90）、（6，8.3）、（8，7.5）．
從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任意抽取2個(gè)的所有可能結(jié)果有$\frac{6×5}{2}$=15種，
其中2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的結(jié)果有3×3+3=12種，
于是從抽得2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)銷售數(shù)據(jù)中的產(chǎn)品銷量不超過80的概率為$\frac{12}{15}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．