Question

5．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，-π＜β＜0，tanα=-$\frac{1}{3}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，則2α+β=$\frac{7π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan（2α+β），結(jié)合2α+β的范圍，由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解2α+β的值．

解答 解：∵tanα=-$\frac{1}{3}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，$\frac{π}{2}$＜α＜π，-π＜β＜0，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{4}$，tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{（-\frac{3}{4}）+（-\frac{1}{7}）}{1-（-\frac{3}{4}）×（-\frac{1}{7}）}$=-1，
又∵$\frac{3π}{2}$＜2α＜2π，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，可得：2α+β∈（π，2π），
∴2α+β=$\frac{7π}{4}$．
故答案為：$\frac{7π}{4}$．

點評 本題主要考查了二倍角的正切函數(shù)公式，兩角和的正切函數(shù)公式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，求出tan2α的值的關(guān)鍵．注意角的范圍．屬于基礎(chǔ)題．