Question

19．已知命題p：“?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-ln x-a≥0”與命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”，若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪[-2，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 解命題P是恒成立問題，利用變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，用最值法求解，命題q即為方程有解．

解答 解：∵?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-lnx-a≥0
∴a≤$\frac{1}{2}$x²-lnx，x∈[1，2]
令：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，x∈[1，2]
則f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，∵f′（x）＞0
∴f（x）在[1，2]上增函數(shù)
∴f（x）的最小值為$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
又命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命題，
∴△=4a²+32+24a≥0
∴a≥-2或a≤-4
又∵命題p：“?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-lnx-a≥0”
與命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命題
∴實數(shù)a的取值范圍 是：（-∞，-4]∪[-2，$\frac{1}{2}$]，
故答案為：（-∞，-4]∪[-2，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題通過常用邏輯用語來考查不等式怛成立問題和方程解的問題，難度空間很大，應(yīng)熟練掌握．