Question

10．已知x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≥0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為n，則${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． 240
• B． -240
• C． 60
• D． 16

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得n，再由二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≥0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2），
化目標(biāo)函數(shù)z=x+2y為y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，由圖可知，當(dāng)直線y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6．
∴${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$=$（x-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$．
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}•（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（-2）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$．
令6-$\frac{3}{2}r=0$，解得r=4．
∴${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$的常數(shù)項(xiàng)為$（-2）^{4}•{C}_{6}^{4}=240$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是中檔題．