Question

1．設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為PD中點．
（1）求證：直線PD⊥平面AEB；
（2）若直線PC交平面AEB于點F，求直線BF與平面PCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明PD⊥AE，PD⊥AB，推出直線PD⊥平面AEB．
（2）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，平面PCD的法向量，設(shè)直線BF與平面PCD所成的角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解，直線BF與平面PCD所成的角的正弦值．

解答 （1）證明：∵PA=AB=AD，E為PD中點，
∴PD⊥AE，又PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AB⊥面PAD，則PD⊥AB，且AB∩AE=A，∴直線PD⊥平面AEB．
（2）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵CD⊥面PAD，∴AE⊥CD，且AE⊥PD，則AE⊥平面PCD，即$\overrightarrow{AE}$為平面PCD的法向量，$\overrightarrow{AE}=（{0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．AB∥CD，AB∥平面PCD，平面AEB∩平面AEFB=EF，
∴EF∥AB∥CD，又E為PD中點，∴F為PC中點，B（1，0，0），$F（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{FB}=（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}}）$，
設(shè)直線BF與平面PCD所成的角為θ，$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{FB}＞}|=|{\frac{{-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}}{{\sqrt{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}\sqrt{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}+{{（{-\frac{1}{2}}）}^2}}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
則直線BF與平面PCD所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，邏輯推理能力．