Question

13．已知f（x）=$\frac{x}{|lnx|}$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²-（2m+1）f（x）+m²+m=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{e}$，2）∪（2，e）
• B． （$\frac{1}{e}$+1，e）
• C． （e-1，e）
• D． （$\frac{1}{e}$，e）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，設(shè)t=f（x），利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：令t=f（x），則方程有兩個根t₁=m或t₂=m+1，
當x≥0時，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
當0≤x＜e時，f′（x）＜0，當x≥e時，f′（x）≥0
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）單調(diào)遞增；
作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：關(guān)于x的方程[f（x）]²-（2m+1）f（x）+m²+m=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，
轉(zhuǎn)化為t₁=f（x）有一個，t₂=f（x）有3個，則0＜m＜e且m+1＞e，∴e-1＜m＜e．
故選C．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵．