Question

18．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁和C₂的參數(shù)方程分別是$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）和$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=1+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）射線OM：θ=α（α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]）與曲線C₁的交點為O，P，與曲線C₂的交點為O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉化方法，即可求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C₁的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ，與直線θ=α聯(lián)立可得：ρ=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，即|OP|=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，同理可得|OQ|=2sinα．求出|OP|•|OQ|=$\frac{8}{tanα}$，在α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上單調遞減，即可求|OP|•|OQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）C₁的普通方程為y²=4x，
C₂的普通方程為x²+（y-1）²=1，C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C₁的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ，
與直線θ=α聯(lián)立可得：ρ=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，即|OP|=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，
同理可得|OQ|=2sinα．
所以|OP|•|OQ|=$\frac{8}{tanα}$，在α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上單調遞減，
所以|OP|•|OQ|的最大值是8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三種方程的轉化，考查極坐標方程的運用，屬于中檔題．