Question

20．已知曲線f（x）=x³+x²+x+3在x=-1處的切線與拋物線y=2px²相切，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（　�。�

• A． $x=\frac{1}{16}$
• B． x=1
• C． y=-1
• D． y=1

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得x=-1處切線的斜率，以及切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用相切的條件：判別式為0，解得p，進(jìn)而得到拋物線的方程和準(zhǔn)線方程．

解答 解：f（x）=x³+x²+x+3的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2x+1，
則在x=-1處的切線斜率為3-2+1=2．切點(diǎn)為（-1，2），
切線的方程為y-2=2（x+1），即y=2x+4，
與拋物線y=2px²相切，可得2px²-2x-4=0，
由判別式△=4+32p=0，
解得p=-$\frac{1}{8}$．
拋物線的方程為y=-$\frac{1}{4}$x²，
即x²=-4y，
即有準(zhǔn)線方程為y=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．