Question

13．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1的圖象不在函數(shù)g（x）=x²-ax的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2-e，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得f（x）-g（x）=e^x-x²+ax-1≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，從而$a≥\frac{{x}^{2}+1-{e}^{x}}{x}$=h（x）對(duì)于x∈（0，1）恒成立，進(jìn)而a≥h（x）_max，${h}^{'}（x）=\frac{x（2x-{e}^{x}）-（{x}^{2}+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$=（$\frac{1-x}{{x}^{2}}$）（e^x-x-1），由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得h（x）是增函數(shù)，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1的圖象不在函數(shù)g（x）=x²-ax的下方，
∴f（x）-g（x）=e^x-x²+ax-1≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，
∴e^x-x²+ax-1≥0，
∴$a≥\frac{{x}^{2}+1-{e}^{x}}{x}$=h（x）對(duì)于x∈（0，1）恒成立，
∴a≥h（x）_max，
${h}^{'}（x）=\frac{x（2x-{e}^{x}）-（{x}^{2}+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$=（$\frac{1-x}{{x}^{2}}$）（e^x-x-1），
令t（x）=e^x-x-1，x∈（0，1），
t′（x）=e^x-1＞0對(duì)x∈（0，1）恒成立，
∴t（x）≥t（0）=0，
∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）_max=h（1）=$\frac{{1}^{2}+1-e}{1}=2-e$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2-e，+∞）．
故答案為：[2-e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、換元法的合理運(yùn)用．