Question

8．點S，A，B，C在半徑為$\sqrt{2}$的同一球面上，△ABC是邊長為$\sqrt{3}$的正三角形，若點S到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}$，則點S與△ABC中心的距離為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設△ABC的外接圓的圓心為M，協(xié)S作SD⊥平面ABC，交MC于D，連結OD，OS，過S作MO的垂線SE，交MO于點E，由題意求出MC=MO=1，從而得到ME=SD=$\frac{1}{2}$，進而求出MD=SE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，由此能求出點S與△ABC中心的距離．

解答 解：如圖，∵點S、A、B、C在半徑為$\sqrt{2}$的同一球面上，
點S到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}$，AB=BC=CA=$\sqrt{3}$，
設△ABC的外接圓的圓心為M，過S作SD⊥平面ABC，交MC于D，
連結OD，OS，過S作MO的垂線SE，交MO于點E，
∴半徑r=MC=$\frac{2}{\sqrt{3-\frac{3}{4}}}$=1，∴MO=$\sqrt{O{C}^{2}-M{C}^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，
∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=$\frac{1}{2}$，
∴MD=SE=$\sqrt{S{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴SM=$\sqrt{S{D}^{2}+M{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{7}{4}}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查球上的點到三角形中心的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球的性質和空間思維能力的培養(yǎng)．