【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：不等式恒成立（其中，）.

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，要證明g（x1+x2）＞g（x1-x2）對(duì)任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

詳解：

（1）由于.

1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增，

當(dāng)時(shí)，，遞減；

2）當(dāng)時(shí)，由得或.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增，

當(dāng)時(shí)，，遞減，

當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞增；

③當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，遞增，

當(dāng)時(shí)，，遞減，

當(dāng)時(shí)，，遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）依題意 恒成立.

設(shè)，則上式等價(jià)于，

要證明對(duì)任意，恒成立，

即證明在上單調(diào)遞增，又，

只需證明即可.令，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴，即，，那么，當(dāng)時(shí)，，所以 ；當(dāng)時(shí)，， ，

∴恒成立.從而原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|，a∈R.

（1）當(dāng)f（2）+f（﹣2）＞4時(shí)，求a的取值范圍；

（2）若a＞0，x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）的最大值是0，

（1）求的值；

（2）若，求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)X～N(1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　)

(附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)

A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下圖統(tǒng)計(jì)了截止到2019年年底中國(guó)電動(dòng)汽車充電樁細(xì)分產(chǎn)品占比及保有量情況，關(guān)于這5次統(tǒng)計(jì)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.私人類電動(dòng)汽車充電樁保有量增長(zhǎng)率最高的年份是2018年

B.公共類電動(dòng)汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬(wàn)臺(tái)

C.公共類電動(dòng)汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬(wàn)臺(tái)

D.從2017年開始，我國(guó)私人類電動(dòng)汽車充電樁占比均超過(guò)50%

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募，僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬(wàn)，其中青年學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試，所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:

(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）是函數(shù)的極值點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）在（2）的條件下，，若，，使不等式恒成立，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為準(zhǔn)確把握市場(chǎng)規(guī)律，某公司對(duì)其所屬商品售價(jià)進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查和模型分析，發(fā)現(xiàn)該商品一年內(nèi)每件的售價(jià)按月近似呈的模型波動(dòng)（為月份），已知3月份每件售價(jià)達(dá)到最高90元，直到7月份每件售價(jià)變?yōu)樽畹?/span>50元.則根據(jù)模型可知在10月份每件售價(jià)約為_____.（結(jié)果保留整數(shù)）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案