Question

10．已知在△ABC中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若c²=4a²-ab，求$\frac{sinB}{sinA}$；
（Ⅱ）求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理a²+b²-ab=4a²-ab，得$b=\sqrt{3}a$．由正弦定理得$\frac{a}=\frac{sinB}{sinA}$，得$\frac{sinB}{sinA}=\sqrt{3}$．  
（Ⅱ）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入所求式子中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出所求式子的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理及題設 c²=a²+b²-ab=4a²-ab，得$b=\sqrt{3}a$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，$\frac{a}=\frac{sinB}{sinA}$，得$\frac{sinB}{sinA}=\sqrt{3}$．   …（6分）
（Ⅱ）由已知$A+B=\frac{2π}{3}$，
$sinA•sinB=sinAsin（\frac{2}{3}π-A）=sinA（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）$
=$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴當$A=\frac{π}{3}$時，sinAsinB取最大值$\frac{3}{4}$．…（12分）

點評 本題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．屬于中檔題．