Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求直角坐標(biāo)系下曲線C₁與曲線C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上的動點，求點P到C₂上點的距離的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²α+sin²α=1，能求出曲線C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由點P到直線距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)，能求出點P到C₂上點的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，
∴ρ（sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=8，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0．
（Ⅱ）∵P為曲線C₁上的動點，∴P（cosα，$\sqrt{3}$sinα）到直線x+y-8=0的距離：
d=$\frac{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{6}）-8|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|sin（α+$\frac{π}{6}$）-4|，
當(dāng)sin（α+$\frac{π}{6}$）=-1即α=$\frac{4π}{3}$時，d的最大值是5$\sqrt{2}$，
故此時點P的坐標(biāo)是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程、直角坐標(biāo)方程的互化，考查點到直線的距離的最小值的求法，解題時要注意點到直線距離公式的合理運用．