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17.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.

分析 (1)把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式,求出切點(diǎn)坐標(biāo),并求出f′(0),然后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案;
(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)a分類(lèi)分析,當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0,得f(x)在[0,1]上為增函數(shù),求得函數(shù)最小值;當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=3x2a=3x+axa.然后由1分界討論求得函數(shù)的最小值.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3-3x+2,切點(diǎn)為(0,2),
∴f′(x)=3x2-3,
∴切線的斜率為k=f′(0)=-3,
則切線方程為y=-3x+2,即3x+y-2=0;
(2)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≥0,∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
∴f(x)min=f(0)=2;
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=3x2a=3x+axa
①若0<a1,即0<a<1時(shí),
當(dāng)0xa時(shí),f′(x)<0,當(dāng)ax1時(shí),f′(x)>0.
∴f(x)在[0,a)上為減函數(shù),在(a1]上為增函數(shù).
fxmin=fa=22aa
②若a1,即a≥1時(shí),f′(x)≤0,∴f(x)在[0,1]上為減函數(shù).
∴f(x)min=f(1)=3-3a.
綜上:fxmin={2a022aa0a133aa1

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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