Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+2（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，并求出f′（0），然后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類(lèi)分析，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，得f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，求得函數(shù)最小值；當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$3（{x}^{2}-a）=3（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）$．然后由1分界討論求得函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x+2，切點(diǎn)為（0，2），
∴f′（x）=3x²-3，
∴切線的斜率為k=f′（0）=-3，
則切線方程為y=-3x+2，即3x+y-2=0；
（2）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=2；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$3（{x}^{2}-a）=3（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）$．
①若0＜$\sqrt{a}＜1$，即0＜a＜1時(shí)，
當(dāng)0$≤x＜\sqrt{a}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$\sqrt{a}＜x≤1$時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在[0，$\sqrt{a}$）上為減函數(shù)，在（$\sqrt{a}，1$]上為增函數(shù)．
∴$f（x）_{min}=f（\sqrt{a}）=2-2a\sqrt{a}$；
②若$\sqrt{a}≥1$，即a≥1時(shí)，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．
∴f（x）_min=f（1）=3-3a．
綜上：$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{2（a≤0）}\\{2-2a\sqrt{a}（0＜a＜1）}\\{3-3a（a≥1）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．