Question

3．對(duì)?x∈（0，$\frac{1}{3}$），8^x≤log_ax+1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{2}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，1）
• D． [$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 對(duì)任意的x∈（0，$\frac{1}{3}$），總有8^x≤log_ax+1恒成立，則在0＜x＜$\frac{1}{3}$時(shí)，y=log_ax的圖象恒在y=8^x-1的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分別畫(huà)出指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)y=8^x-1的圖象如下圖所示：

∵對(duì)任意x∈（0，$\frac{1}{3}$），總有8^x≤log_ax+1恒成立，
則y=log_ax的圖象恒在y=8^x-1的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=8^x-1的圖象交于（$\frac{1}{3}$，1）點(diǎn)時(shí)，
a=$\frac{1}{3}$，
故虛線所示的y=log_ax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足$\frac{1}{3}$≤a＜1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵