14.已知${a_1}=1,{a_n}+{a_{n+1}}={({\frac{1}{2}})^n}$,令Tn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,類比教材中求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法,可得3Tn-2nan=2n.

分析 通過(guò)Tn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an與2Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan相加可知3Tn=2a1+22(a1+a2)+23(a2+a3)+…+2n-1(an-1+an)+2nan,進(jìn)而利用相鄰兩項(xiàng)和的關(guān)系代入計(jì)算即得結(jié)論.

解答 解:∵Tn=a1+2a2+22a3+…+2n-1an,
∴2Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan
兩式相加,得:3Tn=2a1+22(a1+a2)+23(a2+a3)+…+2n-1(an-1+an)+2nan,
又∵${a_1}=1,{a_n}+{a_{n+1}}={({\frac{1}{2}})^n}$,
∴3Tn=2+2+2+…+2+2nan=2n+2nan,
∴3Tn-2nan=2n,
故答案為:2n.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn

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