Question

10．2015年12月，京津冀等地?cái)?shù)城市指數(shù)“爆表”，北方此輪污染為2015年以來最嚴(yán)重的污染過程．為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
車流量x（萬輛）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	27	31	35	41	49	56	62

（1）在表中，畫出車流量和PM2.5濃度的散點(diǎn)圖；
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（3）（i）利用所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車流量為8萬輛時(shí)，PM2.5的濃度；
（ii）規(guī)定當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（0，50]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在（50，100]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)活為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）？
參考公式：回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）•（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{x}$=$\overline{y}$=$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）利用描點(diǎn)法可得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）根據(jù)公式求出b，a，可寫出線性回歸方程；
（3）（i）根據(jù)（2）的性回歸方程，代入x=8求出PM2.5的濃度，（ii）由$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$≤100，解得x的取值范圍．

解答 解：畫出車流量和PM2.5濃度的散點(diǎn)圖；

（2）由數(shù)據(jù)可得：$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（27+31+35+41+49+56+62）=43，
$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=1373，$\sum_{i=1}^{7}$${x}_{i}^{2}$=140，
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1373-1204}{140-112}$=$\frac{169}{28}$，
$\stackrel{^}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=$\frac{132}{7}$，
故y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{^}{y}$=$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$，
（3）（i）當(dāng)車流量為8萬輛時(shí)，即x=8時(shí)，$\stackrel{^}{y}$=$\frac{169}{28}$×8+$\frac{132}{7}$=$\frac{470}{7}$，
故車流量為8萬輛時(shí)，PM2.5的濃度$\frac{470}{7}$，
（ii）根據(jù)題意信息$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$≤100，
即當(dāng)x≤13.44時(shí)，
所要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)活為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線性回歸分析的方法，包括散點(diǎn)圖，用最小二乘法求參數(shù)，以及用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)等知識(shí)，考查了考生數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．