Question

19．若?x₀∈[1，2]，使不等式${x_0}^2-m{x_0}+4＞0$成立，則m的取值范圍是（-∞，5）．

Answer 1

分析 分離變量可得所以m＜$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，則?x∈[1，2]，使得m＜$\frac{{x}^{2}+4}{x}$成立，只需m小于f（x）的最大值，然后構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)求其單調(diào)性，可得取值范圍

解答 解：不等式x²-mx+4＞0可化為mx＜x²+4，
故?x∈[1，2]，使得m＜$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，
記函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，x∈[1，2]，
只需m小于f（x）的最大值，
由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=0，可得x=2，而且當x∈[1，2]時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
故最大值為f（1），又f（1）=5．m的取值范圍是：（-∞，5）．
故答案為：（-∞，5）．

點評 本題為參數(shù)范圍的求解，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)工具求取值范圍是解決問題的工關(guān)鍵，本題要和恒成立區(qū)分，易錯求成函數(shù)的最小值．