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16.某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐(上下底面及側(cè)面的厚度不計).易拉罐的體積為162πml,設圓柱的高度為hcm,底面半徑為rcm,且h≥6r.假設該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關(guān).已知易拉罐側(cè)面制造費用為m元/cm2,易拉罐上下底面的制造費用均為n元/cm2(m,n為常數(shù),且0<3m<n).
(1)寫出易拉罐的制造費用y(元)關(guān)于r(cm)的函數(shù)表達式,并求其定義域;
(2)求易拉罐制造費用最低時r(cm)的值.

分析 (1)由題意,體積V=πr2h,得h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}.y=2πrh×m+2πr2×n.由h≥6r,可得所求函數(shù)定義域.
(2)令f(r)=\frac{162m}{r}+n{r^2},則f'(r)=\frac{162m}{r^2}+2nr.由f'(r)=0,解得r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}.當n>2m時,3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈(0,3],利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

解答 解:(1)由題意,體積V=πr2h,得h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}
y=2πrh×m+2πr2×n=2π(\frac{162m}{r}+n{r^2})
因為h≥6r,即r≤3,即所求函數(shù)定義域為(0,3].
(2)令f(r)=\frac{162m}{r}+n{r^2},則f'(r)=\frac{162m}{r^2}+2nr
由f'(r)=0,解得r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}
當n>2m時,3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈(0,3],由,

r(0,3\root{3}{{\frac{3m}{n}}})3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}(3\root{3}{{\frac{3m}{n}}},3)
f'(r)-0+
f(r)
得,當r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}時,f(r)有最小值,此時易拉罐制造費用最低.

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、圓柱的體積與表面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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