Question

8．從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，試問：
（1）三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？
（2）偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？
（3）任意兩偶然都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：先在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，再將其中三個(gè)偶數(shù)排在一起可以把三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)元素進(jìn)行排列，三個(gè)元素之間還有一個(gè)排列，得到結(jié)果，
（2）分3步進(jìn)行分析：先在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，再將3個(gè)偶數(shù)排在一起，有A₃³種情況，4個(gè)奇數(shù)也排在一起有A₄⁴種情況，將奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行全排列計(jì)算可得答案；
（3）分3步進(jìn)行分析：先在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，再把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空檔，利用分別計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
①、在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，
②、三個(gè)偶數(shù)排在一起可以把三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)元素，考慮其順序，有A₃³種情況，
③、將這個(gè)元素與4個(gè)奇數(shù)全排列，有A₅⁵種情況，
則三個(gè)偶數(shù)排在一起的七位數(shù)共有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400個(gè)；
（2）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
①、在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，
②、3個(gè)偶數(shù)排在一起有A₃³種情況，4個(gè)奇數(shù)也排在一起有A₄⁴種情況，
③、將奇數(shù)整體、偶數(shù)整體全排列，有A₂²種情況，
則共有C₄³C₅⁴A₃³A₄⁴A₂²=5760個(gè)偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的七位數(shù)；
（3）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
①、在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C₄³種結(jié)果，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C₅⁴種結(jié)果，
②、把4個(gè)奇數(shù)全排列，有A₄⁴種情況，拍好后有5個(gè)空位，
③、在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3個(gè)偶數(shù)，有A₅³種情況，
則共有A₅⁴C₄³A₅³=28800個(gè)兩偶然都不相鄰的七位數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 題考查排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對(duì)于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個(gè)比較典型的排列組合問題．