Question

5．為檢測空氣質(zhì)量，某市環(huán)保局隨機抽取了甲、乙兩地2016年20天PM2.5日平均濃度（單位：微克/立方米）監(jiān)測數(shù)據(jù)，得到甲地PM2.5日平均濃度頻率分布直方圖和乙地PM2.5日平均濃度的頻數(shù)分布表．

乙地20天PM2.5日平均濃度頻數(shù)分布表

PM2.5日平均濃度（微克/立方米）	[0，20]	（20，40]	（40，60]	（60，80]	（80，100]
頻數(shù)（天）	2	3	4	6	5

（1）根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻率分布表作出相應(yīng)的頻率分組直方圖，并通過兩個頻率分布直方圖比較兩地PM2.5日平均濃度的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）；
（2）通過調(diào)查，該市市民對空氣質(zhì)量的滿意度從高到低分為三個等級：

滿意度等級	非常滿意	滿意	不滿意
PM2.5日平均濃度（微克/立方米）	不超過20	大于20不超過60	超過60

記事件C：“甲地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級高于乙地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級”，假設(shè)兩地市民對空氣質(zhì)量滿意度的調(diào)查結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件C的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻率分布表能作出相應(yīng)的頻率分組直方圖，由頻率分布直方圖能求出結(jié)果．
（2）記A₁表示事件：“甲地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為滿意或非常滿意”，A₂表示事件：“甲地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為非常滿意”，B₁表示事件：“乙地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為不滿意”，B₂表示事件：“乙地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為滿意”，則A₁與B₁獨立，A₂與B₂獨立，B₁與B₂互斥，C=B₁A₁∪B₂A₂，由此能求出事件C的概率．

解答 解：（1）根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻率分布表作出相應(yīng)的頻率分組直方圖，如下圖：

由頻率分布直方圖得：
甲地PM2.5日平均濃度的平均值低于乙地PM2.5日平均濃度的平均值，
而且甲地的數(shù)據(jù)比較集中，乙地的數(shù)據(jù)比較分散．
（2）記A₁表示事件：“甲地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為滿意或非常滿意”，
A₂表示事件：“甲地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為非常滿意”，
B₁表示事件：“乙地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為不滿意”，
B₂表示事件：“乙地市民對空氣質(zhì)量的滿意度等級為滿意”，
則A₁與B₁獨立，A₂與B₂獨立，B₁與B₂互斥，C=B₁A₁∪B₂A₂，
P（C）=P（B₁A₁∪B₂A₂）=P（B₁）P（A₁）+P（B₂）P（A₂），
由題意P（A₁）=$\frac{9}{10}$，P（A₂）=$\frac{1}{10}$，P（B₁）=$\frac{11}{20}$，P（B₂）=$\frac{7}{20}$，
∴P（C）=$\frac{11}{20}×\frac{9}{10}+\frac{7}{20}×\frac{1}{10}=\frac{53}{100}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意互斥事件加法公式和相互獨立事件事件概率乘法公式的合理運用．