Question

13．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)第一象限的圖象上，△AF₁F₂的面積為1，且sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠F₁AF₂=$\frac{4}{5}$
（1）求雙曲線(xiàn)的方程
（2）已知直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（m，n）．m＞0，n＞0．由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，可得tan∠AF₁F₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠F₁AF₂=$\frac{4}{5}$得tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，由△AF₁F₂的面積為1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，聯(lián)立求出A的坐標(biāo)，即可得出雙曲線(xiàn)的方程．
（2）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用判別式大于0，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)A（m，n）．m＞0，n＞0．
由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，可得tan∠AF₁F₂=$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{m+c}$=$\frac{1}{2}$，
由sin∠A F₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠F₁AF₂=$\frac{4}{5}$得tan∠AF₂F₁=-2可得$\frac{n}{m-c}$=2，
由△AF₁F₂的面積為1可得$\frac{1}{2}$•2c•n=1，
以上三式聯(lián)立解得：c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以A（$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），F(xiàn)₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），F(xiàn)₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可得2a=|AF₁|-|AF₂|=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
所以a=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，b=$\frac{1}{3}$，
所以雙曲線(xiàn)方程為$\frac{12{x}^{2}}{5}-3{y}^{2}$=1；
（2）直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立可得（12-15k²）x²-30kx-20=0，
∵直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn)，∴△=900k²+80（12-15k²）＞0，∴-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線(xiàn)方程，考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和靈活利用．