Question

8．圓O的半徑為3，一條弦AB=4，P為圓O上任意一點，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍為（　　）

• A． [-16，0]
• B． [0，16]
• C． [-4，20]
• D． [-20，4]

Answer 1

分析 如圖所示，連接OA，OB．過點O作OC⊥AB，垂足為C．利用垂徑定理可得BC=$\frac{1}{2}$AB=2．可得cos∠OBA．利用向量的三角形法則，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}$，代入數(shù)量積即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍．

解答 解：如圖所示，連接OA，OB．
過點O作OC⊥AB，垂足為C．
則BC=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴cos∠OBA=$\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}$
=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OP}|•cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞$$-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OB}|•cos∠OBA$．
=$4×3×cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞-4×3×\frac{2}{3}$=$12cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞-8$．
∵cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞$∈[-1，1]，
∴12cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OP}＞$-8∈[-20，4]．
故選：D．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算、垂徑定理、向量共線定理，屬于中檔題．