Question

2．如圖1．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB，沿DE將△AEDD折起到△A₁ED的位置，連結(jié)A₁B，A₁C，M，N分別為A₁C，BE的中點(diǎn)．如圖2．
（I ）求證：DE丄A₁B
（Ⅱ）求證：MN∥平面A₁ED
（Ⅲ）在棱A₁B上是否存在一點(diǎn)G．使得EG丄平面A₁BC？若存在，求出 $\frac{{A}_{1}G}{GB}$的值：若不存在．說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出DE⊥A₁E，DE⊥BE，從而DE⊥平面A₁BE，由此能證明DE丄A₁B．
（Ⅱ）取CD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，ME，推導(dǎo)出平面A₁DE∥平面MNE，由此能證明MN∥平面A₁ED．
（Ⅲ）取A₁B的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，推導(dǎo)出EG⊥A₁B，EG⊥BC，從百求出棱A₁B上存在中點(diǎn)G．使得EG丄平面A₁BC，此時(shí)$\frac{{A}_{1}G}{GB}$=1．

解答 證明：（Ⅰ）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB，
沿DE將△AEDD折起到△A₁ED的位置，
∴DE⊥A₁E，DE⊥BE，
∵A₁E∩BE=E，∴DE⊥平面A₁BE，
∵A₁B?平面A₁BE，∴DE丄A₁B．
（Ⅱ）取CD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，ME，
∵M(jìn)，N分別為A₁C，BE的中點(diǎn)，
∴ME∥A₁D，NE∥DE，
又DE∩A₁D=D，NE∩ME=E，DE，A₁D?平面A₁DE，NE，ME?平面MNE，
∴平面A₁DE∥平面MNE．
∴MN∥平面A₁ED．
（Ⅲ）取A₁B的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，
∵A₁E=BE，∴EG⊥A₁B，
由（Ⅰ）知DE⊥平面A₁BE，∵DE∥BC，∴BC⊥平面A₁BE，
∴EG⊥BC，
又A₁B∩BC=B，∴EG⊥平面A₁BC．
故棱A₁B上存在中點(diǎn)G．使得EG丄平面A₁BC，此時(shí)$\frac{{A}_{1}G}{GB}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查線面平行的證明，考查滿足線面垂直的點(diǎn)的位置的確定與求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．