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1.函數$f(x)=cos(2x-\frac{2π}{3})+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}(x∈[-\frac{11π}{12},\frac{19π}{12}])$所有零點之和為(  )
A.$\frac{2π}{3}$B.$\frac{4π}{3}$C.D.$\frac{8π}{3}$

分析 函數$f(x)=cos(2x-\frac{2π}{3})+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}(x∈[-\frac{11π}{12},\frac{19π}{12}])$所有零點?函數g(x)=cos(2x-$\frac{2π}{3}$)+4cos2x-2與h(x)=$\frac{3}{3x-π}$的交點橫坐標.
可得函數g(x),h(x)的圖象關于點($\frac{π}{3},0$)對稱,畫出函數g(x),h(x)的圖象,結合圖象可求解.

解答 解:函數$f(x)=cos(2x-\frac{2π}{3})+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}(x∈[-\frac{11π}{12},\frac{19π}{12}])$所有零點?函數g(x)=cos(2x-$\frac{2π}{3}$)+4cos2x-2與h(x)=$\frac{3}{3x-π}$的交點的橫坐標.
g(x)=cos(2x-$\frac{2π}{3}$)+4cos2x-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{3}{2}cos2x$=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$),h(x)=$\frac{3}{3x-π}$=$\frac{1}{x-\frac{π}{3}}$,
可得函數g(x),h(x)的圖象,關于點($\frac{π}{3},0$)對稱.
函數g(x),h(x)的圖象如下:(只需畫出直線x=$\frac{π}{3}$右側部分)
結合圖象可得在區(qū)間[-$\frac{11π}{12}$,$\frac{19π}{12}$],函數g(x),h(x)的圖象由4個交點,關于點($\frac{π}{3},0$)對稱.
所有零點之和為2×$\frac{π}{3}$+2×$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$,
故選:B

點評 本題考查了函數的圖象與性質,考查了數形結合思想、轉化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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