Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB⊥AC
（Ⅱ）求直線PB與平面BDE的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用直線與平面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化證明即可．
（2）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面BDE的一個(gè)法向量，然后利用向量的數(shù)量積求解直線PB與平面BDE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：因?yàn)锳BCD是正方形，∴AC⊥BD，PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，PD⊥AC，PD∩DB=D，
∴AC⊥平面PDB，PB?平面PBD，
∴PB⊥AC．
（2）解：∵PD⊥AB，PD⊥BC，AB∩BC=B，∴PD⊥平面ABCD，設(shè)AB=1，
如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{DB}$得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=-1，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），又∵$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴直線PB與平面BDE所成角的余弦值為：$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．