Question

11．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=n+a_n，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得a_n+1=4a_n（n≥2）．再由已知求得a₂，驗證$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=4$，可得數(shù)列{a_n}是以首項為1，公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）直接利用數(shù)列的分組求和與等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和求得T_n=b₁+b₂+…+b_n．

解答 解：（Ⅰ）由題意，a_n+1=3S_n+1，則當n≥2時，a_n=3S_n-1+1．
兩式相減，得a_n+1=4a_n（n≥2）．
又∵a₁=1，∴a₂=3a₁+1=4，則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=4$，
∴數(shù)列{a_n}是以首項為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴{a_n}的通項公式是${a}_{n}={4}^{n-1}$；
（Ⅱ）b_n=n+a_n=n+4^n-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+2+…+n）+（1+4¹+4²+…+4^n-1）
=$\frac{n（1+n）}{2}+\frac{{1（1-{4^n}）}}{1-4}$=$\frac{{n+{n^2}}}{2}+\frac{{{4^n}-1}}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了數(shù)列的分組求和與等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．