Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，點（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C 上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）設點（2x，y）在C上，點（x，y） 的軌跡為曲線E，過原點作直線l與曲線E交于A，B兩點，點D （-2，0），證明：$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$為定值，并求出定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的焦距為2$\sqrt{3}$，點（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C 上，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）利用相關點法求出曲線E的方程為x²+y²=1．當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=0，求出$\overrightarrow{DA}$=（2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，-1），從而$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=3．當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx，聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²=1，求出$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}+2$，$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$+2，-$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），由此能證明$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$為定值3．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，點（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C 上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}{=}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
證明：（Ⅱ）∵點（2x，y）在C上，點（x，y） 的軌跡為曲線E，
∴曲線E的方程為$\frac{（2x）^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，即x²+y²=1．
當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得A（0，1），B（0，-1），
∵D （-2，0），∴$\overrightarrow{DA}$=（2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=4-1=3．
當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²=1，
解得A（$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），B（-$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，-$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），
∵D （-2，0），∴$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}+2$，$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$+2，-$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$），
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=4-$\frac{1}{{k}^{2}+1}$-$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$=3．
綜上，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$為定值3．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查向量的乘積為定值的證明，考查橢圓、圓、直線方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，屬于中檔題．