A. | (-∞,1] | B. | [0,1] | C. | $[{0,\frac{e}{2}}]$ | D. | [0,e] |
分析 依題意,分a=0,a<0,a>0三類討論,將不等式(ax+1)(ex-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{x}$在(0,+∞)上恒成立(a<0)或ex-aex≥0在(0,+∞)上恒成立(a>0),再分別構(gòu)造函數(shù),解之即可.
解答 解:∵不等式(ax+1)(ex-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴①當(dāng)a=0時(shí),(ax+1)(ex-aex)=ex>0在(0,+∞)上恒成立;
②當(dāng)a<0時(shí),ex-aex>0恒成立,故不等式(ax+1)(ex-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立
?ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立?a≥-$\frac{1}{x}$在(0,+∞)上恒成立.
∵y=-$\frac{1}{x}$在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x→+∞時(shí),y→0,
∴a≥0,又a<0,∴a∈∅;
③當(dāng)a>0時(shí),ax+1>0恒成立,故不等式(ax+1)(ex-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立
?ex-aex≥0在(0,+∞)上恒成立?a≤$\frac{{e}^{x-1}}{x}$在(0,+∞)上恒成立,
因此,a≤($\frac{{e}^{x-1}}{x}$)min,
令g(x)=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$(x>0),則g′(x)=$\frac{{xe}^{x-1}{-e}^{x-1}}{{x}^{2}}$=$\frac{{(x-1)e}^{x-1}}{{x}^{2}}$(x>0),
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增;
∴當(dāng)x=1時(shí),g(x)=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$(x>0)取得極小值g(1)=1,也是最小值,
∴0<a≤1,
綜上所述,0≤a≤1,
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,突出考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用,對(duì)a分a=0,a<0,a>0三類討論是關(guān)鍵,屬于難題.
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A. | 2017×22016 | B. | 2017×22014 | C. | 2016×22017 | D. | 2016×22018 |
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A. | $-\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $-\frac{3}{4}i$ | D. | $\frac{3}{4}i$ |
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A. | k<4? | B. | k<5? | C. | k>4? | D. | k>5? |
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A. | 731 | B. | 809 | C. | 852 | D. | 891 |
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