10.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{2(n+1){a}_{n}}{n}$+n+1.
(I)求證:數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列.
(II)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

分析 (I)an+1=$\frac{2(n+1){a}_{n}}{n}$+n+1,可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$(\frac{{a}_{n}}{n}+1)$,即可證明.?dāng)?shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列,公比為2,首項(xiàng)為2.
(II)由(I)可得:$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2n,可得an=n•2n-n.利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式及其等差數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 (I)證明:∵an+1=$\frac{2(n+1){a}_{n}}{n}$+n+1,∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$2×\frac{{a}_{n}}{n}$+1,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$(\frac{{a}_{n}}{n}+1)$,
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列,公比為2,首項(xiàng)為2.
(II)解:由(I)可得:$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2n,可得an=n•2n-n.
設(shè)數(shù)列{n•2n}的前n項(xiàng)和為Tn
則Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n
2Tn=22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1,
相減可得:-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$-n•2n+1,
可得:Tn=(n-1)•2n+1+2.
∴Sn=(n-1)•2n+1+2-$\frac{n(n+1)}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查了錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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20.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-xlnx-2
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在區(qū)間[a,b]⊆[$\frac{1}{2}$,+∞),使f(x)在[a,b]上的值域是[k(a+2),k(b+2)],求k的取值范圍.

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1.若關(guān)于x的不等式(ax+1)(ex-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(-∞,1]B.[0,1]C.$[{0,\frac{e}{2}}]$D.[0,e]

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18.若復(fù)數(shù)z=a+i的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)a=( 。
A.-1B.1C.-2D.2

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5.若實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$,則x2+y2的最大值為( 。
A.1B.4C.6D.5

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15.已知f(x)=$\frac{{2}^{x}}{2(ln2-1)x}$,則f′(1)=1.

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2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x}$,則$f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+…+f(\frac{1}{2017})$=$\frac{4033}{2}$.

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19.已知$f(x)=sin(\frac{1}{2}x+\frac{π}{3})$
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值,并求出x為何值時(shí),f(x)取得最大值;
(2)求函數(shù)f(x)在[-2π,2π]上的單調(diào)增區(qū)間.

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10.某微商贈(zèng)品費(fèi)用支出與銷售額之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):
x(萬元)12345
y(萬元)2430384251
(1)求回歸直線方程;
(2)試預(yù)測該微商贈(zèng)品費(fèi)用支出為8萬元時(shí),銷售額多大.
參考公式:回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$,其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$.

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