分析 (I)an+1=$\frac{2(n+1){a}_{n}}{n}$+n+1,可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$(\frac{{a}_{n}}{n}+1)$,即可證明.?dāng)?shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列,公比為2,首項(xiàng)為2.
(II)由(I)可得:$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2n,可得an=n•2n-n.利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式及其等差數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 (I)證明:∵an+1=$\frac{2(n+1){a}_{n}}{n}$+n+1,∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$2×\frac{{a}_{n}}{n}$+1,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$+1=2$(\frac{{a}_{n}}{n}+1)$,
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$+1}是等比教列,公比為2,首項(xiàng)為2.
(II)解:由(I)可得:$\frac{{a}_{n}}{n}$+1=2n,可得an=n•2n-n.
設(shè)數(shù)列{n•2n}的前n項(xiàng)和為Tn.
則Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n,
2Tn=22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1,
相減可得:-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$-n•2n+1,
可得:Tn=(n-1)•2n+1+2.
∴Sn=(n-1)•2n+1+2-$\frac{n(n+1)}{2}$.
點(diǎn)評 本題考查了錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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