Question

19．已知f（x）為定義在R行的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f'（x）對于x∈R恒成立，且e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下面正確的是（　�。�

• A． f（1）＞ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• B． f（1）＜ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• C． f（1）＞ef（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）
• D． f（1）＜ef（0），f（2016）＞e2⁰¹⁶f（0）

Answer 1

分析 根據(jù)選項(xiàng)的特點(diǎn)，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，對其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)已知條件f（x）＜f′（x），可以判斷g（x）的單調(diào)性，從而可判定選項(xiàng)的正確與否．

解答 解：f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f′（x）對于x∈R恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴g（x）是R上的增函數(shù)，
∴g（1）＞g（0），g（2016）＞g（0），
即$\frac{f（1）}{e}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，$\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
則f（1）＞ef（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0），
故選：A．

點(diǎn)評 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），是一道好題．另外我們的一般規(guī)律是看到f（x）＜f′（x）時，就應(yīng)該想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$．