Question

4．已知函數(shù)f（x）=a^x+b（a＞0，且a≠1）．若f（x）的圖象如圖所示，
（1）求a，b的值；
（2）記g（x）=f（x）-log_ax，判斷g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點，若存在，請求出零點，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖象得，點（1，0），（0，-1）在函數(shù)f（x）的圖象上，代值計算即可，
（2）分別畫出y=2^x-2，y=log₂x的圖象，由圖象可得函數(shù)的零點．

解答 解：（1）由圖象得，點（1，0），（0，-1）在函數(shù)f（x）的圖象上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{1+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}$
∴f（x）=2^x-2．
（2）g（x）=f（x）-log_ax=2^x-2-log₂x，其定義域為（0，+∞）
令g（x）=2^x-2-log₂x=0，
則2^x-2=log₂x，
分別畫出y=2^x-2，y=log₂x的圖象，如圖所示，

由圖象可得，y=2^x-2，y=log₂x的圖象只有一個交點，即x=1，
故存在函數(shù)的零點，且零點為1

點評 本題考查了函數(shù)的零點存在定理和指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義，屬于中檔題．