Question

7．設(shè)a＞0，f（x）=$\frac{2x}{2+x}$，令a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）寫出a₂，a₃，a₄的值，并猜出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₂，a₃，a₄．猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（1）由a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
因?yàn)閍₁=1，所以a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，${a_3}=f（{a_2}）=\frac{1}{2}$，${a_4}=f（{a_3}）=\frac{2}{5}$，
猜想${a_n}=\frac{2}{n+1}（{n∈{N^*}}）$．
（2）證明：①易知，n=1時(shí)，猜想正確；
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，a_k=$\frac{2}{k+1}$成立，
則${a_{k+1}}=f（{a_k}）=\frac{{2×{a_k}}}{{2+{a_k}}}=\frac{2}{k+1+1}$這說明，n=k+1時(shí)成立．
由①②知，對于任何n∈N^*，都有${a_n}=\frac{2}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．