Question

18．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a≤0）．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)a＜0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若?a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，即$m＜-4+\frac{2}{3a}$對任意-3＜a＜-2恒成立，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0）…（1分）
由f'（1）=1…（2分）f（1）=1…（3分），
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=x．（4分）
（2）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（{2-a}）x-1}}{x^2}=\frac{{（{ax+1}）（{2x-1}）}}{x^2}（x＞0）$．…（5分）
①當(dāng)-2＜a＜0時，f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$和$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$上是減函數(shù)，在$（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}}）$上是增函數(shù)；…（6分）
②當(dāng)a=-2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；…（7分）
③當(dāng)a＜-2時，f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$和$（{0，-\frac{1}{a}}）$上是減函數(shù)，在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}}）$上是增函數(shù)．（8分）
（3）當(dāng)-3＜a＜-2時，由（2）可知f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，
∴$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（1）-f（3）=\frac{2}{3}-4a+（{a-2}）ln3$．…（9分）
由（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max
即$（{m+ln3}）a-2ln3＞\frac{2}{3}-4a+（{a-2}）ln3$對任意-3＜a＜-2恒成立，
即$m＜-4+\frac{2}{3a}$對任意-3＜a＜-2恒成立，…（10分）
由于當(dāng)-3＜a＜-2時，$-\frac{13}{3}＜-4+\frac{2}{3a}＜-\frac{38}{9}$，∴$m≤-\frac{13}{3}$．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．