Question

12．在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量$\overrightarrow m=（a，cos\frac{A}{2}）$，$\overrightarrow n=（b，cos\frac{B}{2}）$，$\overrightarrow p=（c，cos\frac{C}{2}）$共線，則△ABC形狀為（　�。�

• A． 等邊三角形
• B． 等腰三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得acos$\frac{B}{2}$=bcos$\frac{A}{2}$，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可得sin$\frac{A}{2}=sin\frac{B}{2}$，結(jié)合角的范圍求得A=B，同理可得B=C，則答案可求．

解答 解：∵向量$\overrightarrow m=（a，cos\frac{A}{2}）$，$\overrightarrow n=（b，cos\frac{B}{2}）$共線，
∴acos$\frac{B}{2}$=bcos$\frac{A}{2}$．
由正弦定理得：sinAcos$\frac{B}{2}$=sinBcos$\frac{A}{2}$．
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{A}{2}$．
則sin$\frac{A}{2}=sin\frac{B}{2}$．
∵0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，0$＜\frac{B}{2}＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{A}{2}=\frac{B}{2}$，即A=B．
同理可得B=C．
∴△ABC形狀為等邊三角形．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角形形狀的判斷，屬中檔題．