Question

【題目】已知中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，若的面積為，求直線l與y軸交點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個參數(shù)的等式，解方程組求出的值，代入橢圓方程即可.（2）設(shè)出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的二次方程，利用韋達定理得到關(guān)于兩個交點的坐標的關(guān)系，將直線的斜率用坐標表示據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出的值，利用判別式大于 得到的范圍，將面積表示出來，得到的等式，解出，即可得到直線l與y軸交點的坐標.

（1）設(shè)橢圓方程為：，

橢圓的離心率為，過點，

，解得，

橢圓的方程為：.

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，

設(shè)直線的方程為：，

，消得，，

且，

，

直線的斜率依次成等比數(shù)列，

，，

又，，即，

直線的斜率存在，且，得且.

設(shè)為點到直線的距離，

或，

直線與軸交點的坐標為：.