已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù);
(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,且對?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)由f(x)=ax-1-lnx可求得f′(x)=

,對a分a≤0與a>0討論f′(x)的符號,從而確定f(x)在其定義域(0,+∞)單調(diào)性與極值,可得答案;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,可求得a=1,于是有f(x)≥bx-2?1+

-

≥b,構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+

-

,g(x)
min即為所求的b的值.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ax-1-lnx,
∴f′(x)=a-

=

,(1分)
當(dāng)a≤0時,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,
∴f(x)在(0,+∞)上沒有極值點;(3分)
當(dāng)a>0時,f'(x)≤0得 0<x≤

,f'(x)≥0得

,
∴f(x)在(0,

]上遞減,在[

,+∞)上遞增,即f(x)在

處有極小值.(5分)
∴當(dāng)a≤0時f(x)在(0,+∞)上沒有極值點,當(dāng)a>0時,f(x)在(0,+∞)上有一個極值點.
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,
∴a=1,
∴f(x)≥bx-2?1+

-

≥b,(8分)
令g(x)=1+

-

,則g′(x)=-

-

=-

(2-lnx),
由g′(x)≥0得,x≥e
2,由g′(x)≤0得,0<x≤e
2,
∴g(x)在(0,e
2]上遞減,在[e
2,+∞)上遞增,(10分)
∴

,即b≤1-

.(12分)
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查恒成立問題,著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用,體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力,屬于難題.