【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求證:；

（2）若在上恒成立，求的最大值與的最小值.

【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為,的最小值為1.

【解析】

（1）構(gòu)建函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在單調(diào)性并計算最值，可得結(jié)果.

（2）構(gòu)造函數(shù)，通過分類討論的方法，，和，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并計算最值比較，可得結(jié)果.

（1）由

所以.

又，,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而,.

（2）當(dāng)時,

“”等價于“”

“”等價于“”.

令,則,

當(dāng)時,

對任意恒成立.

當(dāng)時,

因?yàn)閷θ我?/span>,,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而對任意恒成立.

當(dāng)時,

存在唯一的，使得.

與在區(qū)間上的情況如下:

0

↗

↘

因?yàn)?/span>在區(qū)間上是增函數(shù),

所以.

進(jìn)一步,“對任意恒成立”

當(dāng)且僅當(dāng),即,

綜上所述：

當(dāng)且僅當(dāng)時,對任意恒成立;

當(dāng)且僅當(dāng)時,對任意恒成立.

所以，若對任意恒成立,

則最大值為,的最小值為1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了解高三年級不同性別的學(xué)生對體育課改上自習(xí)課的態(tài)度（肯定還是否定），進(jìn)行了如下的調(diào)查研究.全年級共有名學(xué)生，男女生人數(shù)之比為，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學(xué)生，每人被抽到的概率均為．

（1）求抽取的男學(xué)生人數(shù)和女學(xué)生人數(shù)；

（2）通過對被抽取的學(xué)生的問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：


否定

肯定

總計

男生


10


女生

30



總計




①完成列聯(lián)表；

②能否有的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)？

（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度；二班有名女生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度．

現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取一男一女進(jìn)一步詢問所持態(tài)度的原因，求其中恰有一人持肯定態(tài)度一人持否定態(tài)度的概率．

解答時可參考下面臨界值表：


0.10

0.05

0.025

0.010

0.005


2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是()

A. aB. C. D. c

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)a＝0時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)有三個零點(diǎn)x1，x2，x3(x1 x2 x3).①求a的取值范圍；②若m1，m2(m1 m2)是函數(shù)f (x)的兩個零點(diǎn)，證明：x1m1x1 1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：．

Ⅰ直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

Ⅱ求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)其中，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值及此時點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：當(dāng)時，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)f（x），若f（x0）＝x0，則稱x0為f（x）的不動點(diǎn).設(shè)f（x）＝x3+ax2+bx+3.

（1）當(dāng)a＝0時，

（i）求f（x）的極值點(diǎn)；

（ⅱ）若存在x0既是f（x）的極值點(diǎn)，也是f（x）的不動點(diǎn)，求b的值；

（2）是否存在a，b，使得f（x）有兩個極值點(diǎn)，且這兩個極值點(diǎn)均為f（x）的不動點(diǎn)？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖放置的邊長為1的正方形 沿 軸滾動（向右為順時針，向左為逆時針）．設(shè)頂點(diǎn) 的軌跡方程是，則關(guān)于的最小正周期及在其兩個相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是（ ）

A. B.

C. D.

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