Question

13．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b-lna）²+（c-d+2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件：b-lna=0，設(shè)b=y，a=x，得到y(tǒng)=lnx；c-d+2=0，設(shè)c=x，d=y，得到y(tǒng)=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵（b-lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b-lna=0且c-d+2=0，
即b=lna，c-d+2=0，
設(shè)y=lnx，y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，
對(duì)曲線y=lnx求導(dǎo)：y′=$\frac{1}{x}$，
與直線y=x+2平行的切線斜率k=1=$\frac{1}{x}$，
解得：x=1，
將x=1代入y=lnx得：y=0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴切點(diǎn)到直線y=x+2的距離d=$\frac{1-0+2}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即d²=$\frac{9}{2}$，
則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．