Question

3．在直角坐標系xOy中直線l過點P（$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，0）且傾斜角為α，在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中曲線C的方程為ρ²（1+sin²θ）=1，已知直線l與曲線C交于不同兩點M，N．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）求$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把極坐標與直角坐標互化公式代入極坐標方程即可得出直角坐標方程．
（2）設直線l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入曲線C的直角坐標方程得$（1+{sin^2}α）{t^2}+（\sqrt{10}cosα）t+\frac{3}{2}=0$，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式可得|MN|．
利用△＞0．可得得$0≤{sin^2}α＜\frac{1}{4}$，即可得出結論．

解答 解：（1）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ²（1+sin²θ）=1得x²+2y²=1，
即曲線C的直角坐標方程為x²+2y²=1．
（2）設直線l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入曲線C的直角坐標方程得$（1+{sin^2}α）{t^2}+（\sqrt{10}cosα）t+\frac{3}{2}=0$，
則${t_1}+{t_2}=-\frac{{\sqrt{10}cosα}}{{1+{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{1+{{sin}^2}α}}$，
∴$|{MN}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{2\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}{{1+{{sin}^2}α}}$，
∴$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}=\frac{{|{{t_1}{t_2}}|}}{{|{{t_1}-{t_2}}|}}=\frac{{\frac{3}{{2（1+{{sin}^2}α）}}}}{{\frac{{2\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}{{1+{{sin}^2}α}}}}=\frac{3}{{4\sqrt{1-4{{sin}^2}α}}}$，
由題設知$△={（\sqrt{10}cosα）^2}-4（1+{sin^2}α）×\frac{3}{2}=4-16{sin^2}α＞0$得$0≤{sin^2}α＜\frac{1}{4}$，
故$\frac{{|{PM}|•|{PN}|}}{{|{MN}|}}∈（\frac{3}{4}，+∞）$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、直線與橢圓相交弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．