Question

19．給出下列四個命題：①“若x+y≠5，則x≠2或y≠3”是假命題；②已知在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要條件；③若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{3a-1}）x+4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（{x＜1}）\\（{x≥1}）\end{array}$，對任意的x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，則實數(shù)a的取值范圍是$（{\frac{1}{7}，1}）$；④若實數(shù)x，y∈[-1，1]，則滿足x²+y²≥1的概率為$1-\frac{π}{4}$．其中正確的命題的序號是②④（請把正確命題的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)逆否命題的等價性進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明即可．
②根據(jù)大角對大邊以及正弦定理進(jìn)行證明．
③根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行證明．
④根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行證明．

解答 解：①“若x+y≠5，則x≠2或y≠3”的等價命題為x=2且y=3時，x+y=5，則等價命題為真命題，則原命題為真命題，故①錯誤，
②已知在△ABC中，“A＜B”等價為a＜b，根據(jù)正弦定理得“sinA＜sinB”成立，即，“A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要條件；故②正確，
③若對任意的x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，則函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{3a-1+4a≥lo{g}_{a}1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{3}}\\{0＜a＜1}\\{a≥\frac{1}{7}}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，故③錯誤，
④由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$的區(qū)域為邊長為2的正方形，面積為4，

∵x²+y²≥1的區(qū)域是圓的外面的陰影區(qū)域，其面積S=4-π，
∴在區(qū)間[-1，1]上任取兩個實數(shù)x，y，則滿足x²+y²≥1的概率為$\frac{4-π}{4}$=$1-\frac{π}{4}$．故④正確．
故正確的答案是②④，
故答案為：②④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．