Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=1-na_n（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式成立．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過(guò)n=1，2，3，4，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄；然后猜想a_n的表達(dá)式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，證明猜想的正確性即可．

解答 解：（1）依題設(shè)S_n=1-na_n可得a₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$，a₃=$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，a₄=$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$；猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．   
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，
即a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$．  
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1． 又S_k=1-ka_k=$\frac{k}{k+1}$，
所以$\frac{k}{k+1}$+a_k+1=1-（k+1）a_k+1，
從而a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{1}{（k+1）（k+1+1）}$
即n=k+1時(shí)，猜想也成立．       
故由①和②，可知猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．