19.函數(shù)$f(x)={log_{\frac{1}{2}}}(10-ax)$,已知f(3)=-2.
(1)求$f(x)={log_{\frac{1}{2}}}(10-ax)$的定義域,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若不等式$f(x)≥{(\frac{1}{2})^x}+m$對(duì)于x∈[3,4]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)f(3)=-2.求解出a的值,即可求解定義域,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性
(2)分離參數(shù)法,把m分離出來(lái),轉(zhuǎn)化為一個(gè)新函數(shù),利用其單調(diào)性求解即可.

解答 解:函數(shù)$f(x)={log_{\frac{1}{2}}}(10-ax)$,
∵f(3)=-2.即4=10-3a,
可得:a=2.
∴函數(shù)f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}(10-2x)$
其定義域滿足:10-2x>0,
得:x<5,
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?∞,5).
令10-2x=u,(u>0)則f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$,
函數(shù)u是一次函數(shù),k=-2<0,在其定義域內(nèi)是減函數(shù),
f(x)=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$的底數(shù)為$\frac{1}{2}$,在其定義域內(nèi)也是減函數(shù),
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減,可得函數(shù)f(x)是增函數(shù).
即函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).
(2)∵不等式$f(x)≥{(\frac{1}{2})^x}+m$對(duì)于x∈[3,4]恒成立,
∴$m≤{log_{\frac{1}{2}}}(10-2x)-{(\frac{1}{2})^x},x∈[3,4]$
而函數(shù)$g(x)={log_{\frac{1}{2}}}(10-2x)-{(\frac{1}{2})^x}$在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù).
所以,g(x)在區(qū)間[3,4]上的最小值是$g(3)={log_{\frac{1}{2}}}(10-2×3)-{(\frac{1}{2})^3}=-\frac{17}{8}$
即$m≤-\frac{17}{8}$,實(shí)數(shù)m的取值范圍是$(-∞,-\frac{17}{8}]$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷和恒成立問題利用單調(diào)性解決,屬于中檔題.

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