Question

【題目】已知函數(shù)，．

(1)若，，求的單凋區(qū)間；

(2)若函數(shù)是函數(shù)的圖像的切線，求的最小值；

(3)求證：．

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為；(2) ；(3) 見解析.

【解析】試題分析: (1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再在定義域內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間，（2）先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義將 表示成 的函數(shù)： ，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，(3)利用結(jié)論，進(jìn)行放縮 ，轉(zhuǎn)化證明，這可以構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值為.

試題解析: (1)時(shí)， ，

，，

解得，解得，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為．

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

切線斜率，又，

∴，∴

令，

，

解得，解得，

∴在上遞減，在上遞增．

∴，∴的最小值為．

(3)法一：令，

由(1)知，∴.

又，∴

∴，（兩個(gè)等號(hào)不會(huì)同時(shí)成立）

∴．

法二：令，

顯然在上遞增，，

∴在上有唯一實(shí)根，且， ，

∴在上遞減，在上遞增，

∴

∴，