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19.如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O上的一點,^AE=^AC,DE交AB于點F.
(1)求證:PF•PO=PA•PB;
(2)若PD=4,PB=2,DF=207,求弦CD的弦心距.

分析 (1)先證明△PDF∽△POC,再利用割線定理,即可證得結論;
(2)設圓的半徑為r,由△PDF∽△POC,可得半徑為5,由切割線定理可得,PD•PC=PB•PA•解得CD=2,再由垂徑定理和勾股定理,計算可得弦CD的弦心距.

解答 解:(1)證明:連接OC、OE,則∠COE=2∠CDE,
^AE=^AC,∴∠AOC=∠AOE,
∴∠AOC=∠CDE,
∴∠COP=∠PDF,
∵∠P=∠P,
∴△PDF∽△POC
PDPO=PFPC,
∴PF•PO=PD•PC,
由割線定理可得PC•PD=PA•PB,
∴PF•PO=PA•PB.
(2)設圓的半徑為r,PD=4,PB=2,DF=207
由△PDF∽△POC,可得PDPO=DFOC,
即有PD•OC=PO•DF,
即4r=207(2+r),解得r=5.
由切割線定理可得,PD•PC=PB•PA•
即為4(4+CD)=2(2+2r),
即有CD=r-3=5-3=2,
則弦CD的弦心距為OH=OC212CD2=5212=26

點評 本題考查三角形相似,考查切割線定理的運用,考查學生分析解決問題的能力以及運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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