Question

5．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，O軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（sinθ+cosθ+$\frac{1}{ρ}$）．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程；
（2）在曲線C上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，求矩形OAPB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由極坐標(biāo)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再寫出參數(shù)方程即可，
（2）可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面積為S，再設(shè)t=sinθ+cosθ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：（1）由$ρ=2（sinθ+cosθ+\frac{1}{ρ}）$得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x²+y²=2x+2y+2，即（x-1）²+（y-1）²=4．
故曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=1+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（2）由（1）可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），
則矩形OAPB的面積為S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|
令$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，t²=1+2sinθcosθ，$S=|1+2t+2{t^2}-2|=|2{（t+\frac{1}{2}）^2}-\frac{3}{2}|$，
故當(dāng)$t=\sqrt{2}$時(shí)，${S_{max}}=3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程，以及三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．