Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-4x-4在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t）．
（1）試寫(xiě)出函數(shù)g（t）的解析式；
（2）求函數(shù)g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=x²-4x-4 的對(duì)稱軸為 x=2，分對(duì)稱軸在閉區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值，可得g（t）的解析式；
（2）作出g（t）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，g（t）的最小值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x²-4x-4 的對(duì)稱軸為 x=2，
當(dāng)2＜t時(shí)，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的最小值g（t）=f（t）=t²-4t-4．
當(dāng)t≤2≤t+1，即 1≤t≤2時(shí)，
函數(shù)的最小值g（t）=f（2）=-8．
當(dāng)t+1＜2，即t＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
故函數(shù)的最小值g（t）=f（t+1）=t²-2t-7．
綜上可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4t-4，t＞2}\\{-8，1≤t≤2}\\{{t}^{2}-2t-7，t＜1}\end{array}\right.$．
（2）作出g（t）的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得，g（t）的最小值為-8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的圖象的作法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．